ケアマネージャーと一般の介護職員は、上司と部下の関係になりますか？

上司と部下の関係にはならないです。
役割が違うだけです。

が…、そうなりがちですね。
まず、ケアマネの資格は実務経験が必要なので、一般の介護職員よりも経験が長いことが多いです。
また、計画を立てるケアマネと、そのサービスを提供する介護職員という構図なので、計画を立てる側が上に立ちがちです。

本来は対等な立場なのに、勘違いをしているケアマネが多いのが現実だと思います。