退職代行を使い退職したのですが、転職希望の施設から問い合わせがあった場合、退職代行で辞めたことも言われる可能性はありますか？

＞退職代行で辞めたことも言われる可能性はあるでしょうか？

通常、前職に問い合わせをすることはないと思います。
ただ、狭い業界ですからね。施設どうしの関係性によっては情報共有される可能性はあります。その際は、退職代行についても共有されるでしょうね。

＞また、勤務態度など退職するまでの勤務態度の評価は良くても、退職代行で辞めたことが分かった場合は、採用になるのは難しいですか？

退職代行を使わなければいけなかった理由によると思います。きちんと説得力のある話ができれば採用される可能性はあると思います。

一般的に考えれば退職代行を使うことは、マイナスの印象を与えると思います。
でも、介護施設はどこも人手不足です。質問者さんが普通に働いてくれる人なのかが伝われば採用されると思いますよ。